评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“3/8”，而标准答案为“3/2”。首先，题目要求计算 \(A_{11}+A_{21}+A_{31}\)，这实际上是矩阵A的第一列元素的代数余子式之和。根据代数余子式的性质，对于任意列j，有 \(a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + a_{3j}A_{3j} = |A|\)，但这里要求的是同一列（j=1）的代数余子式之和，而不是同一行的余子式展开。

关键点：题目条件指出A的每行元素之和均为2，即对于每一行i，有 \(a_{i1} + a_{i2} + a_{i3} = 2\)。这可以写成矩阵形式：A乘以列向量(1,1,1)^T等于(2,2,2)^T。因此，(1,1,1)^T是A的属于特征值2的特征向量（因为A*(1,1,1)^T = 2*(1,1,1)^T）。

现在，要求 \(A_{11}+A_{21}+A_{31}\)，这实际上是A的伴随矩阵A*的第一行元素之和（因为伴随矩阵的第(i,j)元素是A_{ji}）。注意，A*的第一行元素是A_{11}, A_{12}, A_{13}，但这里要求的是A_{11}, A_{21}, A_{31}，即伴随矩阵的第一列元素。

利用伴随矩阵的性质：A * A* = |A| I。因此，A * (A*的第一列) = |A| * (单位矩阵的第一列) = (|A|, 0, 0)^T。设x = (A_{11}, A_{21}, A_{31})^T（即伴随矩阵的第一列），则有A x = (3, 0, 0)^T（因为|A|=3）。

另一方面，由每行和均为2，可知A (1,1,1)^T = (2,2,2)^T。现在需要解A x = (3,0,0)^T。注意到(3,0,0)^T可以表示为 (3/2)*(2,2,2)^T - (3/2)*(2,2,2)^T + ...? 实际上，考虑(3,0,0)^T与(2,2,2)^T的关系：并非直接相关。

更直接的方法：利用代数余子式的求和性质。事实上，对于固定的j，∑_{i=1}^{n} a_{ij} A_{ik} = |A| δ_{jk}。但当j≠k时，∑_{i} a_{ij} A_{ik} =0。这里要求的是∑_{i} A_{i1}，即k=1, j任意？但这里没有a_{ij}相乘。

另一个重要性质：代数余子式...