2011年考研数学（二）考试试题 - 第15题回答

评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生给出的答案为 \( a \in \left( \frac{1}{3}, 1 \right] \)，而标准答案为 \( a \in \left( \frac{1}{3}, 1 \right) \)。学生答案的右端点为闭区间（包含1），但标准答案要求 \( a < 1 \)（开区间）。当 \( a = 1 \) 时，计算 \( \lim_{x \to 0^{+}} F(x) \)：

\[ \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \ln(1+t^2) \, dt}{x^{3}} \stackrel{\text{L'Hôpital}}{=} \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln(1+x^2)}{3x^{2}} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^2}{3x^{2}} = \frac{1}{3} \neq 0, \] 不满足题设条件 \( \lim_{x \to 0^{+}} F(x) = 0 \)。因此，学生答案包含 \( a=1 \) 是错误的，属于逻辑错误（区间端点错误）。但学生正确给出了左端点 \( \frac{1}{3} \)（开区间）和右端点1（但应为开区间），且思路正确（考虑了 \( x \to 0^+ \) 和 \( x \to +\infty \) 的极限），因此扣1分（满分10分）。

题目总分：9分

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