评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生最终答案为 \(12\pi - \frac{112}{3}\)，而标准答案为 \(12\pi - \frac{16}{3}\)。虽然学生正确识别了对称性并使用了极坐标变换，但在计算积分 \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} d\theta \int_{0}^{4\cos\theta} (r^3 - 2r^3 \cos\theta\sin\theta) dr\) 时出现错误。具体地，计算 \(\int_{0}^{4\cos\theta} r^3 dr = \frac{1}{4} (4\cos\theta)^4 = 64\cos^4\theta\) 和 \(\int_{0}^{4\cos\theta} 2r^3 \cos\theta\sin\theta dr = 2\cos\theta\sin\theta \cdot \frac{1}{4} (4\cos\theta)^4 = 128\cos^5\theta\sin\theta\)，但后续对 \(\theta\) 的积分计算错误，导致最终结果偏差。因此，扣除全部计算错误分（8分），但给予部分步骤分（对称性识别和极坐标设置正确，共4分）。

题目总分：4分