评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生答案为“xe^2x”，即 \( y = x e^{2x} \)。

分析：题目给出三个解 \( y_1 = e^{3x} - x e^{2x} \)、\( y_2 = e^{x} - x e^{2x} \)、\( y_3 = -x e^{2x} \) 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解。首先，利用线性微分方程解的结构，齐次方程的通解可由这些解的组合得到。注意 \( y_1 - y_3 = e^{3x} \)，\( y_2 - y_3 = e^{x} \) 都是齐次方程的解，因此齐次方程的通解为 \( C_1 e^{3x} + C_2 e^{x} \)。非齐次方程的特解可以是 \( y_3 = -x e^{2x} \) 或类似形式（因为非齐次方程的特解加上齐次通解仍是解）。

原方程满足初始条件 \( y(0) = 0 \)，\( y'(0) = 1 \)。设非齐次方程的通解为 \( y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{x} - x e^{2x} \)（这里取特解为 \( -x e^{2x} \)，但注意 \( y_3 \) 是解，但通解形式需包含齐次部分）。代入初始条件：

\( y(0) = C_1 + C_2 = 0 \)

\( y' = 3C_1 e^{3x} + C_2 e^{x} - e^{2x} - 2x e^{2x} \)，所以 \( y'(0) = 3C_1 + C_2 - 1 = 1 \)

解得 \( C_1 = 1 \)，\( C_2 = -1 \)，因此特解为 \( y = e^{3x} - e^{x} - x e^{2x} \)。

学生答案 \( y = x e^{2x} \) 不满足初始条件：\( y(0) = 0 \) 但 \( y'(0) = e^{2x} + 2x e^{2x} \bigg|_{x=0} = 1 \)，虽然导数条件满足，但函数本身不是微分方程的解（因为齐次部分缺失）。实际上，学生答案忽略了齐次部分，且与标准解结构不符。

因此，学生答案错误，得0分。

题目总分：0分