评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分5分）

学生给出了正确的解 \(y(x) = 1 + \frac{x^6}{3}\)，且满足初始条件 \(y(\sqrt{3}) = 10\)（代入计算：\(1 + \frac{(\sqrt{3})^6}{3} = 1 + \frac{27}{3} = 10\)，正确）。解答过程在识别结果中虽未详细展示微分方程求解步骤，但答案正确。根据标准答案，此部分应得满分5分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生正确设点 \(P(x_0, y_0)\)，并计算了切线斜率 \(k_{切} = 2x_0^5\)（由 \(y' = 2x^5\) 得，正确），法线斜率 \(k_{法} = -\frac{1}{2x_0^5}\)（正确）。法线方程推导正确，并令 \(x=0\) 得到截距 \(I_p = 1 + \frac{x_0^6}{3} + \frac{1}{2x_0^4}\)（与标准答案 \(g(x)\) 一致）。学生然后对 \(I_p\) 关于 \(x_0\) 求导：\(y' = 2x_0^5 - 2x_0^{-5}\)（正确），令导数为零解得 \(x_0 = 1\) 和 \(x_0 = -1\)。但题目条件 \(x > 0\)，因此 \(x_0 = -1\) 应舍去（学生未明确舍去，但最终给出了 \(x_0=1\) 的坐标）。学生计算了二阶导数 \(y'' = 10x_0^4 + 10x_0^{-6} > 0\)，判断极小值点正确。最终得到点 \(P(1, \frac{4}{3})\)（正确）。虽然学生多写了 \(x_0 = -1\) 的情况，但根据题目 \(x>0\)，该点无效，且学生最终答案包含正确点，因此不扣分。此部分应得满分6分。

题目总分：5+6=11分