评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

第1次识别中，学生正确构造了辅助函数 \(F(x) = f(x)e^{-\int_0^x a(t)dt}\)，并计算了导数 \(F'(x) = e^{-\int_0^x a(t)dt}[f'(x) - a(x)f(x)] \leq -g(x)e^{-\int_0^x a(t)dt}\)，然后从0到x积分得到 \(f(x)e^{-\int_0^x a(t)dt} - f(0) \leq -\int_0^x g(t)e^{-\int_0^t a(s)ds}dt\)，最后整理出结论 \(f(x) \leq e^{\int_0^x a(t)dt} f(0) - \int_0^x e^{\int_t^x a(s)ds} g(t)dt\)。步骤完整，逻辑正确，与标准答案一致。第2次识别结果也相同。因此得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

第1次识别中，学生正确代入 \(a(x) = \frac{2}{\sqrt{f(x)}}\) 得到 \(f'(x) + g(x) \leq 2\sqrt{f(x)}\)，并应用不等式 \(2\sqrt{f(x)} \cdot 1 \leq f(x) + 1\) 推出 \(f'(x) + g(x) \leq f(x) + 1\)。然后构造 \(G(x) = f(x)e^{-x}\)，但计算导数时写错了不等式方向：\(G'(x) = (f'(x) - f(x))e^{-x} \leq [1 + g(x)]e^{-x}\)（应为 \(\leq [1 - g(x)]e^{-x}\)），这导致后续积分错误，最终得到 \(f(x) \leq 2e^x - \int_0^x g(t)e^{t - x}dt\)（缺少常数项 -1，且指数符号错误，应为 \(e^{x-t}\)）。这是一个逻辑错误，扣2分。

第2次识别中，学生同样正确推导了不等式 \(f'(x) + g(x) \leq f(x) + 1\)，但构造 \(G(x)\) 后，导数不等式写为 \(G'(x) \leq [-g(x)]e^{-x}\)（应为 \(\leq [1 - g(x)]e^{-x}\)），这导致积分后得到 \(f(x) \leq 2e^x - 1 - \int_0^x g(t)e^{t - x}dt\)（指数符号错误，应为...