评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确写出分布函数 \(F(x) = 1 - \left(\frac{a}{x}\right)^k\)，但概率密度函数定义域错误（标准答案为 \(x > a\)，学生写为 \(x \geq 0\)）。此错误属于逻辑错误，因为题目明确 \(a\) 是 \(x\) 的最小值且 \(a > 0\)，因此概率密度在 \(x < a\) 时应为0，但学生错误地扩展到 \(x \geq 0\)（包括 \(0 \leq x < a\) 区域）。扣3分。概率密度表达式正确（\(k a^k x^{-k-1}\)），得3分。本小题最终得分：3分（满分6分）。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确分析了数学期望和方差的存在性：
- 指出当 \(0 < k \leq 1\) 时期望不存在，\(k > 1\) 时期望存在；
- 指出当 \(0 < k \leq 2\) 时方差不存在，\(k > 2\) 时方差存在；
- 分类结论（\(0 < k \leq 1\)、\(1 < k \leq 2\)、\(k > 2\)）完全正确。
但计算过程中积分下限错误（应为从 \(a\) 积分，学生从 \(0\) 积分），由于题目要求“思路正确不扣分”，且存在性结论不受积分下限影响（因为被积函数在 \(x \in (0, a)\) 区间为0，但学生密度函数定义域错误导致积分区域错误，但实际计算中发散性判断一致），因此不扣分。本小题最终得分：6分（满分6分）。

题目总分：3+6=9分