评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生第一次识别结果中，对于(1)的证明存在逻辑错误：误将不等式写为\(\frac{1}{n}<\ln(1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n-1}\)（当\(n=2\)时右侧为\(\frac{2}{2}=1\)，但标准应为\(\frac{1}{n}\)），且证明过程不完整（如未定义函数并求导等）。但第二次识别结果显示，学生使用了数学归纳法和函数求导法正确证明了\(\frac{1}{n+1}<\ln(1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}\)（尽管归纳假设中误写为\(\frac{k}{k+1}\)，但后续证明实际使用了标准答案中的函数构造和单调性分析）。核心逻辑正确，但归纳假设表述有误（应为\(\frac{1}{k+1}<\ln(1+\frac{1}{k})<\frac{1}{k}\)），扣1分。此外，证明中未明确说明\(x>0\)时导数符号，但整体思路正确。因此得4分（满分5分）。

（2）得分及理由（满分5分）

学生两次识别结果均正确证明了数列\(\{a_n\}\)的单调性和有下界性：利用(1)中结论得到\(a_{n+1}-a_n<0\)（单调递减），并通过不等式放缩得到\(a_n > \ln(n+1)-\ln n > 0\)（有下界）。应用单调有界收敛定理得出收敛结论。逻辑完整且与标准答案一致。但第一次识别中误写“12令\(t(x)=\frac{1}{x}-\ln x\)”为无关内容，属于识别错误，不扣分。因此得5分（满分5分）。

题目总分：4+5=9分