评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答：\(C_1e^x + e^{-x/2}\left(C_2\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) + C_3\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)\right)\)，其中\(C_1, C_2, C_3\)为常数。

该微分方程的特征方程为\(r^3 - 1 = 0\)，解得三个根：\(r_1 = 1\)，\(r_{2,3} = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i\)。因此，通解应为\(y = c_1 e^{x} + e^{-x/2}\left(c_2 \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) + c_3 \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)\right)\)，其中\(c_1, c_2, c_3\)为任意常数。

学生答案与标准答案形式不一致（标准答案为\(y=c_1 e^{x}+c_2 x e^{x}+c_3 x^{2} e^{x}\)），但学生答案基于特征根的正确求解，是另一种正确的通解形式（通过复数根得到）。根据打分要求第3条“思路正确不扣分”，且学生答案数学表达正确，常数标记清晰，因此应得满分5分。

题目总分：5分