评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为"1/2"，即0.5。而标准答案为\(\sqrt{e}\)，即\(e^{1/2} \approx 1.6487\)。两者数值明显不同，因此答案错误。

进一步分析：该极限为\(1^\infty\)型未定式，正确解法应取对数后利用等价无穷小或洛必达法则求解。设原极限为\(L\)，则\(\ln L = \lim_{x \to 0} \cot x \cdot \ln \left( \frac{1+e^x}{2} \right)\)。当\(x \to 0\)时，\(\cot x \sim \frac{1}{x}\)，且\(\ln \left( \frac{1+e^x}{2} \right) \sim \frac{e^x - 1}{2} \sim \frac{x}{2}\)（因为\(\ln(1+u) \sim u\)当\(u \to 0\)，这里\(u = \frac{e^x - 1}{2} \to 0\)）。因此\(\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{2} = \frac{1}{2}\)，故\(L = e^{1/2} = \sqrt{e}\)。

学生答案"1/2"可能是错误地将极限理解为\(\left( \frac{1+e^x}{2} \right)\)在\(x=0\)处的值（即为1）的\(\cot x\)次方，并误认为1的任何次方为1，但忽略了\(\cot x \to \infty\)的事实，导致未识别出未定式。这是一种典型的逻辑错误，表明学生未掌握处理\(1^\infty\)型未定式的方法。

根据打分要求，答案错误且存在逻辑错误，故得0分。

题目总分：0分