评分及理由

（1）微分方程求解部分（满分6分）

学生第一次识别结果中，求解微分方程时出现错误：在计算积分 \(\int \frac{\ln x}{x} dx\) 时，正确结果应为 \(\frac{1}{2} (\ln x)^2\)，但学生写成了 \(\frac{1}{4} \ln^2 x\)（系数错误），且 \(\int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x}\)，但学生写成了 \(+\frac{1}{2x}\)（符号和系数均错误）。因此通解计算错误，导致后续代入初值条件也无法得到正确特解。第二次识别结果中，求解过程正确：正确计算了积分 \(\int \frac{\ln x}{x^3} dx = -\frac{\ln x}{2x^2} + \frac{1}{4x^2}\)（分部积分法），并得到通解 \(y = -\frac{\ln x}{2} + \frac{1}{4} + C x^2\)。代入初值 \(y(1)=\frac{1}{4}\) 可得 \(C=\frac{1}{4}\)，因此特解为 \(y(x)=\frac{x^2}{4} - \frac{\ln x}{2}\)，与标准答案一致。根据评分规则，第二次识别正确，且思路和计算均正确，因此不扣分。但第一次识别有逻辑错误，由于规则允许两次识别中一次正确即可不扣分，故本题部分得满分6分。

（2）弧长计算部分（满分6分）

学生作答中未直接显示弧长计算过程，但根据微分方程求解得到的正确特解，可推导弧长公式。标准答案中弧长计算为 \(s=\int_1^e \sqrt{1+(y')^2} dx\)，其中 \(y'=\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}\)，代入后化简为 \(\frac{1}{2}\int_1^e (x+\frac{1}{x}) dx\)，积分结果为 \(\frac{e^2+1}{4}\)。学生作答中未包含此部分，但根据规则，只需判断已作答部分。由于弧长计算未在识别内容中出现，视为未完成，但微分方程求解正确是弧长计算的基础。根据规则，未作答部分不得分，故本题部分得0分。

题目总分：6+0=6分