评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生答案：\(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln(\sqrt{2} + 1)\)

标准答案：\(\frac{3}{4}\sqrt{2} + \frac{3}{4}\ln(\sqrt{2} + 1)\)

学生答案与标准答案形式相似但系数不同。学生答案中\(\sqrt{2}\)和\(\ln(\sqrt{2}+1)\)的系数均为\(\frac{1}{2}\)，而标准答案中系数均为\(\frac{3}{4}\)。这表明学生可能正确使用了极坐标变换（思路正确），但在积分计算过程中出现系数错误。具体可能是：

• 极坐标变换后积分限设置正确（\(\theta\)从0到\(\pi/4\)，\(r\)从\(\sec\theta\)到\(2\sec\theta\)）
• 被积函数化简为\(\frac{r}{\cos\theta}\)正确
• 但对\(r\)积分时计算\(\int_{\sec\theta}^{2\sec\theta} r dr\)错误，正确应为\(\frac{1}{2}(4\sec^2\theta - \sec^2\theta) = \frac{3}{2}\sec^2\theta\)，学生可能计算为\(\frac{1}{2}(2\sec^2\theta - \sec^2\theta) = \frac{1}{2}\sec^2\theta\)（少乘了因子3）
• 后续对\(\theta\)积分时系数错误延续

思路正确但计算错误，扣分。由于系数错误（差3/2倍），属于严重计算错误，但非逻辑错误。满分10分，扣5分。

得分：5分

题目总分：5分