评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 \(a = -1\)。首先，计算广义积分 \(\int_{1}^{+\infty}\frac{a}{x(2x + a)}dx\)。为了使其收敛，需要被积函数在无穷远处趋于零，且积分存在。当 \(a = -1\) 时，被积函数为 \(\frac{-1}{x(2x - 1)}\)，在 \(x \to +\infty\) 时行为类似于 \(\frac{-1}{2x^2}\)，因此积分收敛。然而，计算积分值：令 \(t = 2x + a\)，但更直接的方法是部分分式分解。设 \(\frac{a}{x(2x + a)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{2x + a}\)，解得 \(A = 1\), \(B = -1\)，因此原积分化为 \(\int_{1}^{+\infty} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x + a} \right) dx\)。计算得 \(\lim_{b \to +\infty} \left[ \ln|x| - \frac{1}{2} \ln|2x + a| \right]_{1}^{b} = \lim_{b \to +\infty} \ln \left( \frac{b}{\sqrt{2b + a}} \right) - \ln \left( \frac{1}{\sqrt{2 + a}} \right)\)。当 \(a = -1\) 时，该极限为 \(\ln \left( \frac{1}{\sqrt{1}} \right) - \ln \left( \frac{1}{\sqrt{1}} \right) = 0\)，但实际计算应为 \(\lim_{b \to +\infty} \ln \left( \frac{b}{\sqrt{2b - 1}} \right) - \ln \left( \frac{1}{\sqrt{1}} \right) = \ln \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - 0\)（因为 \(\frac{b}{\sqrt{2b}} \to \sqrt{b/2} \to +\infty\)，但精确计算：\(\ln \left( \frac{x}{\sqrt{2x + a}} \right)...