评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的解为 \(2xy - 1.5x^2 - 2.5y^2 + 3 = 0\)，而标准答案为 \(3x^2 - 4xy + 5y^2 = 4\)。首先，学生解的形式与标准答案不一致，但微分方程的解可以有不同的表示形式。需要验证学生解是否满足原微分方程和初始条件。

将学生解改写为 \( -1.5x^2 + 2xy - 2.5y^2 + 3 = 0 \)，求全微分：令 \(F(x,y) = -1.5x^2 + 2xy - 2.5y^2 + 3\)，则 \(dF = (-3x + 2y)dx + (2x - 5y)dy = 0\)，即 \((-3x + 2y)dx + (2x - 5y)dy = 0\)。与原方程 \((2y - 3x)dx + (2x - 5y)dy = 0\) 比较，两者完全相同，因此学生解满足微分方程。

再验证初始条件 \(y(1)=1\)：代入 \(x=1, y=1\)，得 \( -1.5(1)^2 + 2(1)(1) - 2.5(1)^2 + 3 = -1.5 + 2 - 2.5 + 3 = 1 \neq 0\)，不满足初始条件。因此，学生解虽然满足微分方程，但不满足初始条件，故不是特解。

学生解可能是通解，但未正确利用初始条件确定常数。标准答案通过初始条件得到 \(3(1)^2 - 4(1)(1) + 5(1)^2 = 3 - 4 + 5 = 4\)，故常数为4。学生解中常数为3，错误。

因此，学生答案错误，得0分。

题目总分：0分