评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生作答为“-π”，即 \(-\pi\)。标准答案为 \(\frac{2}{\pi}\)。计算协方差 \(\operatorname{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]\)。由于 \(X\) 在 \((-\pi/2, \pi/2)\) 上均匀分布，其概率密度函数为 \(f_X(x) = 1/\pi\)。首先，\(E[X] = 0\)（对称区间）。\(E[Y] = E[\sin X] = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin x \cdot (1/\pi) \, dx = 0\)（奇函数对称积分）。\(E[XY] = E[X \sin X] = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x \sin x \cdot (1/\pi) \, dx\)。该被积函数为偶函数，故 \(E[XY] = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} x \sin x \, dx = \frac{2}{\pi} [ -x \cos x + \sin x ]_0^{\pi/2} = \frac{2}{\pi} (1) = \frac{2}{\pi}\)。因此 \(\operatorname{Cov}(X, Y) = \frac{2}{\pi} - 0 \cdot 0 = \frac{2}{\pi}\)。学生答案 \(-\pi\) 与正确值符号和数值均错误，且无任何正确推导过程展示，属于完全错误。因此得0分。

题目总分：0分