评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是-1，而标准答案是-2。题目要求计算当 \(x \to 0\) 时，函数 \(f(x)=a x+b x^{2}+\ln (1+x)\) 与 \(g(x)=e^{x^{2}}-\cos x\) 是等价无穷小，求 \(a b\) 的值。等价无穷小要求 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1\)。需要展开 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 的泰勒级数：

• \(f(x) = a x + b x^2 + \left( x - \frac{x^2}{2} + o(x^2) \right) = (a+1)x + \left(b - \frac{1}{2}\right)x^2 + o(x^2)\)
• \(g(x) = e^{x^2} - \cos x = \left(1 + x^2 + o(x^2)\right) - \left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) = \frac{3}{2}x^2 + o(x^2)\)

为使极限为1，分子和分母的阶数必须相同，因此 \(a+1=0\)（即 \(a=-1\)），且系数比值为1：\(\frac{b - 1/2}{3/2} = 1\)，解得 \(b=2\)。因此 \(a b = (-1) \times 2 = -2\)。学生答案-1错误，可能是计算错误或逻辑错误（如未正确展开或未匹配阶数）。由于答案不正确，且题目为填空题，得0分。

题目总分：0分