评分及理由

（1）得分及理由（满分11分中的部分分，此处按小问分配，但总分11分需整体分配，通常(I)占部分分）

学生使用递推法证明行列式，思路正确，但推导过程存在逻辑错误。具体地，从递推式 \(C_n = 2aC_{n-1} - a^2C_{n-2}\) 开始正确，但后续展开 \(2a(2aC_{n-2} - a^2C_{n-3}) - a^2C_{n-2} = 3a^2C_{n-2} - 2a^3C_{n-3}\) 正确，然而之后直接跳跃到 \((n-2)a^{n-3}C_3 - (n-3)a^{n-2}C_2\) 缺乏严谨性，且代入 \(C_2=3a^2, C_3=4a^3\) 后计算 \(\frac{4(n-2)a^n - 3(n-3)a^n}{2a}\) 有误（分母2a不应出现），最终结果 \((n+1)a^n\) 正确但推导过程错误。因此，由于结论正确但过程有逻辑错误，扣分。标准答案使用数学归纳法更严谨。得分：3分（满分假设为4分，但总分11分需整体权衡，此处按小问比例给分，理由：结论正确但推导错误）。

（2）得分及理由（满分11分中的部分分）

学生正确指出唯一解条件为 \(|A| \neq 0\) 即 \(a \neq 0\)，但计算 \(x_1 = \frac{1}{2a}\) 错误。标准答案使用克莱姆法则，\(x_1 = \frac{|A_1|}{|A|} = \frac{n a^{n-1}}{(n+1)a^n} = \frac{n}{(n+1)a}\)，学生结果 \(\frac{1}{2a}\) 仅适用于n=1情况，一般n错误。因此，条件正确但计算错误，扣分。得分：1分（满分假设为3分，理由：条件正确但核心计算错误）。

（3）得分及理由（满分11分中的部分分）

学生正确指出无穷多解条件 \(a=0\)，并给出增广矩阵形式（有识别误差，但结构正确），齐次通解 \(k(1,0,...,0)^T\) 正确，非齐次特解应为 \((0,1,0,...,0)^T\)，但学生写作 \((0,1,3,...,0)^T\)（可能识别错误，第三元素3为误写），通解形式正确。根据禁止扣分规则，特解中误写不扣分。因此，核心逻辑正确。得分：4分（满分假设为4分，理由：条件、通解结构正确，特解误写不扣分）。

题目总分：3+1+4=8分（满分11分）