评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案为 \(8\pi/3\)，而标准答案为 \(4\pi\)。该曲面积分计算的是向量场 \((x^2, y^2, z)\) 通过曲面 \(\sum\) 外侧的通量，正确方法应使用高斯公式（散度定理）转化为三重积分计算。散度为 \(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(z) = 2x + 2y + 1\)。积分区域为椭圆柱 \(x^2+4y^2 \leq 4, 0 \leq z \leq 2\)。计算三重积分时，由于区域关于 \(x\) 和 \(y\) 对称，且 \(2x\) 和 \(2y\) 是奇函数，积分为零，因此只需积分常数1，得到体积 \(V = \pi \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4\pi\)（椭圆柱底面积 \(\pi \cdot 2 \cdot 1\) 乘以高2）。学生答案 \(8\pi/3\) 错误，可能是错误计算了体积或散度。因此得0分。

题目总分：0分