评分及理由

（1）得分及理由（满分5.5分）

学生作答中，第一次识别结果存在多处符号错误（如将向量写成分量形式、分母出现x1等），但第二次识别结果正确推导了二次型对应的矩阵为 \(2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T\)（注意：标准答案为 \(2\alpha^\top\alpha + \beta^\top\beta\)，但 \(\alpha\alpha^T\) 与 \(\alpha^\top\alpha\) 是等价的，因为对于列向量 \(\alpha\)，有 \(\alpha^\top\alpha = \alpha\alpha^T\)，两者均为矩阵）。学生通过展开二次型并整理成矩阵形式，逻辑正确。但第一次识别中错误较多，而第二次识别完全正确，根据规则“只要其中有一次回答正确则不扣分”，且核心逻辑正确，故得满分5.5分。

（2）得分及理由（满分5.5分）

学生正确利用了\(\alpha\)和\(\beta\)正交且为单位向量的条件，计算了\(A\alpha = 2\alpha\)和\(A\beta = \beta\)，从而得出2和1是特征值。学生还通过秩的估计（\(r(A) \leq 2\)）和特征向量线性无关（由正交性保证）得出秩为2，进而推出0是特征值，最终得到特征值为2,1,0，标准形为\(2y_1^2 + y_2^2\)。思路与标准答案一致，逻辑正确。但第一次识别中在秩的推导部分有轻微错误（如写“1=r(ααᵀ)≤r(2ααᵀ+ββᵀ)”应为“1≤r(A)”，但后续正确），第二次识别已修正。根据规则“思路正确不扣分”和“误写不扣分”，故得满分5.5分。

题目总分：5.5+5.5=11分