评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答中第一次识别结果正确计算了\(V_x\)和\(V_y\)的表达式：\(V_x = \pi \int_0^a (x^{1/3})^2 dx = \frac{3\pi}{5} a^{5/3}\)和\(V_y = 2\pi \int_0^a x \cdot x^{1/3} dx = \frac{6\pi}{7} a^{7/3}\)，这与标准答案一致。但在后续方程建立和求解时出现错误：学生写成了\(\frac{6\pi}{7} a^{7/3} = \frac{33}{5} \cdot \frac{10}{a^{3/5}}\)（可能是识别错误或计算失误），导致错误方程\(\frac{6a^{7/3}}{7} = \frac{60}{7a^{3/5}}\)和错误解\(a = \sqrt[3]{7}\)。第二次识别结果则完全错误，误用了\(y = x^{2/3}\)（应为\(y = x^{1/3}\))，导致\(V_y\)计算错误为\(\frac{3\pi}{4} a^{8/3}\)，并推导出无关方程\(\frac{7}{60}a^{7/3} - \frac{5}{32}a^{8/3} = 0\)和错误解\(a = 56/75\)。核心逻辑错误包括：①方程建立错误（第一次识别）；②函数误用（第二次识别）。但考虑到识别可能误写（如33/5可能是30/5的误写），且第一次识别中积分计算正确，给予部分分数。扣分：积分计算正确（2分），但方程错误（-4分），求解错误（-2分），第二次识别错误不重复扣分。得分：2分。

题目总分：2分