评分及理由

（1）得分及理由（满分5.5分）

学生作答中，第1次识别结果存在明显错误：将二次型展开时错误地写为矩阵形式（如出现\(a_{11}, a_{21}, a_{31}\)等未定义符号，且矩阵维度不匹配），但第2次识别结果正确推导了矩阵形式，即\(f = \mathbf{x}^T (2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T) \mathbf{x}\)，从而得出对应矩阵为\(2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T\)。标准答案为\(2\alpha^\top\alpha + \beta^\top\beta\)，注意\(\alpha^\top\alpha\)与\(\alpha\alpha^T\)是等价的（均为列向量乘行向量），因此实质正确。但第1次识别中逻辑错误严重，但根据规则，若任一次识别正确则不扣分。此处第2次识别正确，故不扣逻辑错误分。但第1次识别中误写（如矩阵维度错误）视为识别问题，不扣分。因此本部分得满分5.5分。

（2）得分及理由（满分5.5分）

学生作答中，第2次识别结果正确：利用正交单位向量条件，计算\(A\alpha = 2\alpha\)和\(A\beta = \beta\)，得出2和1为特征值；通过秩的估计（\(r(A) \leq 2\)）和特征值个数（两个非零特征值）推出\(r(A)=2\)，从而第三特征值为0；最终得到标准形为\(2y_1^2 + y_2^2\)。思路与标准答案一致，逻辑正确。第1次识别中部分表述有误（如秩的讨论中写\(r=1\)或2，但后续纠正），但根据规则，任一次识别正确则不扣分。因此本部分得满分5.5分。

题目总分：5.5+5.5=11分