评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案为“-e/4”，而标准答案为“(-4 + 3e)/12”。首先，需要计算函数在x=0处的傅里叶级数收敛值，这实际上就是函数在该点的傅里叶级数和，对于分段函数，通常需要考察函数在该点的左右极限以及函数值。但本题中，函数在x=0处定义为0，而傅里叶级数在间断点处收敛于左右极限的平均值。然而，仔细分析题目，函数f(x)在x=0处是定义的，但需要判断其连续性。

具体计算：

对于x<0的部分：f(x) = [∫₀^{x²} sin(t²) dt] / [x ln(cos x)]

当x→0⁻时，分子∫₀^{x²} sin(t²) dt ~ ∫₀^{x²} t² dt = (x²)³/3 = x⁶/3（因为sin(t²) ~ t²当t→0），分母x ln(cos x) ~ x * ln(1 - x²/2) ~ x * (-x²/2) = -x³/2，所以f(x) ~ (x⁶/3) / (-x³/2) = -2x³/3 →0。

对于x>0的部分：f(x) = [(1+x)^{1/x} - e] / x

当x→0⁺时，(1+x)^{1/x} → e，所以这是0/0型，使用洛必达法则或泰勒展开。

令g(x) = (1+x)^{1/x}，则ln g(x) = ln(1+x)/x，当x→0时，ln(1+x)/x ~ (x - x²/2 + x³/3 - ...)/x = 1 - x/2 + x²/3 - ...

所以g(x) = exp(1 - x/2 + x²/3 - ...) = e * exp(-x/2 + x²/3 - ...) = e [1 + (-x/2 + x²/3) + (1/2)(-x/2 + x²/3)² + ...] = e [1 - x/2 + x²/3 + x²/8 + O(x³)] = e [1 - x/2 + (11/24)x² + O(x³)]

因此f(x) = [g(x) - e] / x = e [ -1/2 + (11/24)x + O(x²) ]

所以当x→0⁺时，f(x) → -e/2。

而函数在x=0处定义为0。

因此，左右极限不相等：左极限为0，右极限为-e/2，函数值为0，所以x=0是跳跃间断点。

傅里叶级数在跳跃间断点处收敛于左右极限的平均值，即(0 + (-e/2))/2 = -e/4。

但是，标准答案给出的是(-4 + 3e)/12，这与-e/4不同。计算(-4 +...