评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答尝试利用对称性将曲面积分转化为第一象限部分再乘以4，但存在多处逻辑错误：

• 错误1：对称性使用不当。原曲面关于xOz平面对称，但被积函数中各项的对称性不一致（例如xy²+x关于y是偶函数，但y³-z²关于y是偶函数，zy²-x²关于y是奇函数），直接整体乘以4缺乏依据。
• 错误2：法向量计算有误。曲面Σ: y=1-2x²-2z²，法向量应为(4x, 1, 4z)/√(16x²+16z²+1)（识别中误写为16x⁴+16z⁴，但后续计算使用了正确形式，视为误写不扣分）。
• 错误3：方向余弦转换错误。将dydz和dxdy转换为dxdz时，分母应为方向余弦之比（如cosα/cosβ），但学生错误地使用了cosβ/cosα和cosβ/cosγ，导致表达式错误。
• 错误4：积分区域错误。投影区域应为x²+z²≤1/2（x≥0,z≥0），但学生误写为x²+4z²≤1（第二次识别）或未明确（第一次识别），且计算中使用了错误的积分限（r从0到1/2而非√2/2）。
• 错误5：被积函数化简错误。例如将项错误合并为(1/2)y²+y³+(1/4)z²，且遗漏了-x²项（识别中可能误写，但逻辑错误存在）。

因此，学生答案整体思路与标准答案（高斯公式）完全不同，且关键步骤均错误，最终结果错误。扣分依据：逻辑错误（对称性误用、方向余弦转换错误、积分区域错误、被积函数错误）导致全过程失效。

得分：0分（满分12分）。

题目总分：0分