评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生使用拉格朗日中值定理证明不等式：令 \( f(x) = \ln x \)，在区间 \([n, n+1]\) 上应用拉格朗日中值定理，存在 \(\xi \in (n, n+1)\) 使得 \( \ln(n+1) - \ln n = \frac{1}{\xi} \)，即 \( \ln(1+\frac{1}{n}) = \frac{1}{\xi} \)。由于 \( n < \xi < n+1 \)，因此 \( \frac{1}{n+1} < \frac{1}{\xi} < \frac{1}{n} \)，从而得到 \( \frac{1}{n+1} < \ln(1+\frac{1}{n}) < \frac{1}{n} \)。该证明方法正确，逻辑清晰，与标准答案方法不同但有效。因此得满分5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生尝试证明数列 \(\{a_n\}\) 收敛，但存在逻辑错误。学生写出不等式链：左边为 \( \ln 2 + \ln \frac{3}{2} + \cdots + \ln \frac{n+1}{n} < a_n \)，右边为 \( a_n < 1 + \ln 2 + \ln \frac{3}{2} + \cdots + \ln \frac{n}{n-1} - \ln n \)。然后计算右边为 \( \ln n - \ln n = 0 \)，左边为 \( \ln(n+1) - \ln n \)，并取极限得到左边极限为0，从而断言 \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \)。这里有以下问题：
1. 右边表达式错误：标准答案中 \( a_n \) 的下界是通过不等式 \( \frac{1}{k} > \ln(1+\frac{1}{k}) \) 得到的，但学生直接写出了一个复杂的不等式链，且未说明来源。
2. 右边简化错误：学生声称右边等于 \( \ln n - \ln n = 0 \)，但实际上 \( 1 + \ln 2 + \ln \frac{3}{2} + \cdots + \ln \frac{n}{n-1} - \ln n = 1 + \ln n - \ln n = 1 \)，而不是0。这是一个计算错误。
3. 收敛性证明错误：学生仅通过左右极限为0就断言 \( a_n \to 0 \)，但未证明 \( a_n \) 的单调性和有界性，而这是收敛的关键。实际上，\( a_n \) 的极限是欧拉常数（约0.577），不是0。
因此，该部分证明思路混乱，存在多处逻辑和计算错误，未能正确证明收敛性。得0分。

题目总分：5+0=5分