评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生正确计算了矩阵A的特征多项式，得到特征值λ1=λ2=4，λ3=2。求特征向量时，对于λ=4得到两个线性无关的特征向量(1,0,1)ᵀ和(0,1,0)ᵀ，对于λ=2得到特征向量(-1,0,1)ᵀ。进行了单位化处理得到正交矩阵Q。但在标准形表述中出现错误：学生写为"4y₁²+4y₂²+4y₃²"（第一次识别）和"4y₁²+4y₂²+2y₃²"（第二次识别），第二次识别正确但第一次识别有误。由于第二次识别正确，且正交矩阵Q构造正确，主要步骤完整。考虑到识别误差，不扣分。得10分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确使用了正交变换下xᵀx = yᵀy的性质，将f(x)/xᵀx转化为(4y₁²+4y₂²+2y₃²)/(y₁²+y₂²+y₃²)。通过代数变形得到4 - 2y₃²/(y₁²+y₂²+y₃²)，并正确指出当y₁=0, y₂=0, y₃=1时取得最小值2。证明过程完整正确。得5分。

题目总分：10+5=15分