评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答中，对于 \(V_x\) 和 \(V_y\) 的计算采用了二重积分的方法，思路正确，与标准答案（使用一重积分公式）不同但等价，因此不扣分。具体步骤：

• \(V_x = 2\pi \iint_D y \, d\sigma\) 化为二次积分 \(2\pi \int_0^a dx \int_0^{x^{1/3}} y \, dy\)，计算正确，得到 \(\frac{3}{5}\pi a^{5/3}\)。
• \(V_y = 2\pi \iint_D x \, d\sigma\) 化为二次积分 \(2\pi \int_0^a dx \int_0^{x^{1/3}} x \, dy\)，计算正确，得到 \(\frac{6\pi}{7} a^{7/3}\)。
• 根据 \(V_y = 10 V_x\) 建立方程 \(\frac{6\pi}{7} a^{7/3} = 10 \times \frac{3}{5}\pi a^{5/3}\)，化简得到 \(a^{2/3} = 7\)，解得 \(a = 7\sqrt{7}\)，正确。

尽管学生使用了二重积分方法（标准答案使用一重积分），但思路和结果均正确，且计算无误，因此得满分10分。

题目总分：10分