评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生正确理解了题目要求，将问题转化为在约束条件下求距离平方 \(D = x^2 + y^2\) 的最值，并使用了拉格朗日乘数法。学生正确构造了拉格朗日函数 \(L = x^2 + y^2 + \lambda(x^3 - xy + y^3 - 1)\)，并写出了正确的偏导方程组（第二次识别中第二个方程修正为 \(\lambda(-x + 3y^2)\)，与标准答案一致）。学生正确解出极值点 \((1,1)\)，并检查了边界点 \((0,1)\) 和 \((1,0)\)。最终得出最长距离 \(\sqrt{2}\) 和最短距离 \(1\)，与标准答案一致。

但存在以下问题：
- 拉格朗日函数写为 \(x^2 + y^2 + \lambda(x^3 - xy + y^3 - 1) = 0\) 是错误的（应为等于 \(L\)，但这是表述问题，实际使用正确，不扣分）。
- 解方程组过程过于简略，直接写出 \(x=1, y=1\)，缺少对 \(\lambda=0\) 或 \(x=y\) 等情况的讨论（逻辑不严谨，扣1分）。
- 未说明为什么极值点唯一（但答案正确，不额外扣分）。
- 边界点处理正确，但未验证是否满足约束（\(x=0,y=1\) 和 \(x=1,y=0\) 确实满足方程，不扣分）。

扣分：逻辑不严谨（缺少解方程过程）扣1分。

得分：10分（满分11分）。

题目总分：10分