评分及理由

（1）得分及理由（满分5.5分）

学生正确应用了弧长公式，并正确计算了导数 \(y' = \frac{x}{2} - \frac{1}{2x}\)。在计算 \(1 + (y')^2\) 时，学生正确展开并化简为 \(\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2x}\right)^2\)，从而得到弧长积分 \(\int_{1}^{e} \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2x}\right) dx\)。积分计算正确，得到 \(\frac{1}{4}(e^2 + 1)\)，与标准答案一致。因此，第一问得满分5.5分。

（2）得分及理由（满分5.5分）

学生错误地使用了形心横坐标公式。形心的横坐标应为 \(\overline{x} = \frac{\int x \cdot y dx}{\int y dx}\)，但学生错误地使用了 \(\overline{y} = \frac{\int y ds}{e-1}\)，其中 \(ds\) 是弧长元素。这混淆了形心坐标的定义（横坐标应基于面积矩和面积，而非弧长）。此外，分母 \(e-1\) 错误（应为区域面积）。计算过程虽详细，但基于错误公式，导致结果 \(\frac{e^4 - 9}{32(e-1)}\) 与标准答案 \(\frac{3(e^4 - 2e^2 - 3)}{4(e^3 - 7)}\) 不符。因此，第二问得0分。

题目总分：5.5+0=5.5分