评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答为“0”，但标准答案为\(\frac{-4 + 3e}{12}\)。该题要求计算傅里叶级数在\(x=0\)处的收敛值，需要利用傅里叶级数的收敛定理：对于分段光滑函数，傅里叶级数在间断点处收敛于该点左极限和右极限的算术平均值。具体地，对于\(x=0\)，需计算\(f(0^+)\)和\(f(0^-)\)：

• \(f(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\int_0^{x^2} \sin t^2 \, dt}{x \ln(\cos x)}\)，通过等价无穷小替换（\(\int_0^{x^2} \sin t^2 \, dt \sim \frac{x^6}{3}\)，\(\ln(\cos x) \sim -\frac{x^2}{2}\)）得极限为0。
• \(f(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{(1+x)^{1/x} - e}{x}\)，利用展开式\((1+x)^{1/x} = e \left(1 - \frac{x}{2} + \frac{11x^2}{24} + O(x^3)\right)\)，代入得极限为\(-\frac{e}{2} + \frac{11e}{24} = \frac{-12e + 11e}{24} = -\frac{e}{24}\)。

因此收敛值为\(\frac{f(0^-) + f(0^+)}{2} = \frac{0 + (-\frac{e}{24})}{2} = -\frac{e}{48}\)，但此结果与标准答案不符。标准答案\(\frac{-4+3e}{12}\)是通过正确计算所得（需注意\(f(0^+)\)的展开有误，实际上应为\(\frac{(1+x)^{1/x} - e}{x} \to -\frac{e}{2}\)，但进一步计算平均值需结合正确极限）。学生直接回答“0”，未进行任何计算或推理，完全错误。

得分：0分（答案错误，且无正确思路）。

题目总分：0分