评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生答案中正确识别了特征值：单特征值不为0时，特征值为4,0,0。特征向量选取正确：α=(1,-1,1)^T，以及正交的特征向量(1,1,0)^T和(-1,1,2)^T。但矩阵A的计算有误：学生给出的A矩阵为[[4/3,4/3,4/3],[4/3,-4/3,4/3],[4/3,4/3,-4/3]]，而标准答案为(4/3)*[[1,-1,1],[-1,1,-1],[1,-1,1]]。学生矩阵的迹为(4/3)+(-4/3)+(-4/3)=-4/3≠4，且行列式不为0，与条件|A|=0矛盾，属于逻辑错误。Ax=0的通解部分，学生只给出了一个基础解系(-1,0,1)^T，但标准需要两个线性无关的解（因为二重特征值0），缺少一个基础解系。因此扣分：特征值和特征向量正确（3分），A矩阵计算错误（-2分），通解不完整（-1分）。得分为3分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生正确识别了特征值：单特征值为0时，特征值为0,2,2。正确推导了A+2E的特征值为2,4,4。正确使用了正交矩阵Q对角化，并设Q^T B Q为对角阵，且因B正定取正平方根。但B矩阵的计算结果与标准答案不一致：学生给出的B矩阵为[[(4+√2)/3, (2-√2)/3, (-2+√2)/3], [(2-√2)/3, 2, 0], [(-2+√2)/3, 0, (3+√2)/3]]，而标准答案为对称矩阵且所有元素均非零（标准答案中B的(2,3)和(3,2)元素不为0）。学生矩阵不对称（例如(1,2)和(2,1)元素相同，但(1,3)和(3,1)元素相同，但(2,3)和(3,2)元素为0，而标准答案中这些位置非零），且计算有误（例如(2,2)元素为2，但标准答案中为(4+√2)/3）。这属于计算错误，但思路正确。扣分：思路正确（3分），B矩阵计算错误（-2分）。得分为4分。

题目总分：3+4=7分