评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答存在多处逻辑错误：

• 在定义 \(f(y) = \frac{\tan y}{y}\) 时，未考虑 \(y=0\) 处的定义（实际需取极限），但学生正确排除了 \(y=0\)，此处不扣分。
• 求导过程有误：\(f'(y) = \frac{\frac{y}{\cos^2 y} - \tan y}{y^2}\) 正确，但后续化简错误（如 \(\frac{\frac{y}{\cos y} - 2y\sin y}{\cos y \cdot y^2}\) 是错误推导），且令 \(f'(y)=0\) 解得 \(y=\frac{\pi}{4}\) 无依据（实际方程 \(y - \sin y \cos y = 0\) 除 \(y=0\) 外无解，学生错误地认为有解）。
• 单调性判断错误：学生声称 \(f'(y)<0\) 当 \(-\pi/2 \sin y \cos y\) 对于 \(y \in (-\pi/2, \pi/2)\backslash\{0\}\) 成立），学生结论完全错误。
• 根个数结论错误：学生得出 \(k \leq 0\) 时只有1个根（正确），但 \(k>0\) 时有3个根（错误，实际应为2个根）。标准答案通过分析原函数 \(f(x)=k\arctan x - x\) 的单调性和极值，正确得到 \(k>1\) 时2个根、\(k \leq 1\) 时1个根。学生方法（参数化 \(k=\frac{\tan y}{y}\)）虽思路不同，但执行错误，导致错误结论。

扣分：逻辑错误（求导错误、单调性错误、根个数错误）严重，扣除8分。仅因正确指出 \(x=0\) 是根且 \(k \leq 0\) 时只有1个根（部分正确）给2分。

得分：2分

题目总分：2分