评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生使用拉格朗日中值定理证明不等式，思路正确且完整。具体地，令f(x)=ln x，在区间[n, n+1]上应用拉格朗日中值定理，得到存在ξ∈(n, n+1)使得f'(ξ)=1/ξ=(ln(n+1)-ln n)/((n+1)-n)，进而由n<ξ

（2）得分及理由（满分5分）

学生证明数列收敛时存在逻辑错误。首先，在证明单调性时，学生未说明a_{n+1}-a_n的符号（应为负，由(1)中ln(1+1/n)>1/(n+1)可得a_{n+1}-a_n<0，即单调递减），但学生直接跳过了这一关键步骤。其次，在证明有下界时，学生写出a_n > ln(1+1/n)（实际上应为a_n > ln(n+1)-ln n = ln(1+1/n)），但ln(1+1/n)随n增大趋于0，不能直接说明a_n有下界（大于0只是下界的一部分，但需说明下界固定）。学生进一步写出a_n < 1，但推导有误：学生写a_n = 1 + 1/2 + ... + 1/(n+1) - ln n（识别中为"1 + 1/(1+1) + 1/(2+1) + ... + 1/(n+1) - ln n"，即从1/2加到1/(n+1)），这实际上不是a_n的定义（a_n应是从1/1加到1/n），此处可能是识别错误或笔误，但导致逻辑错误。学生试图用放缩得到a_n < 1，但步骤错误（例如，用ln(1+1/k) < 1/k放缩求和，但未正确叠加）。最后，学生错误地写出lim_{n→∞} ln(1+1/n) < lim_{n→∞} a_n < 1，并得出有界性，但极限存在性未证明（收敛性需由单调有界定理保证，但学生未证明单调性，且下界论证不严谨）。因此，本部分存在多处逻辑错误，扣3分，得2分。

题目总分：5+2=7分