评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生第一次识别结果中，特征值判断有误：将特征向量识别为二维向量（如$\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}$），且特征值推导逻辑混乱（如错误得出$\lambda_1=-1$对应$\alpha_1=\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}$，但实际应为三维向量）。但第二次识别结果正确：通过$A\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}=-1\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$得出$\lambda_1=-1$和$\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$（与标准答案$\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$差负号，但等价，不扣分）；通过$A\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$得出$\lambda_2=1$和$\alpha_2=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$（正确）；通过秩为2得出$\lambda_3=0$，并用正交性解得$\alpha_3=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$（正确）。但第一次识别错误较多，第二次正确，综合给分5分（扣1分因第一次识别有严重维度错误）。

（2）得分及理由（满分5分）

学生第二次识别中，正确单位化特征向量得到正交矩阵$Q$，并通过$A=Q\Lambda Q^T$计算得$A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}$（与标准答案一致）。但第一次识别中单位化矩阵$Q$的构造有误（如$\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&0\\0&0&1\\-\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&0\end{pmatrix}$错误，应为$\begin{pmatrix}\frac{\sqr...