评分及理由

（1）分离变量与通解求解（满分3分）

学生正确地将原方程化为 \(y' = \frac{1-x^2}{1+y^2}\)，并分离变量得到 \((1+y^2)dy = (1-x^2)dx\)，积分得到通解 \(y + \frac{y^3}{3} = x - \frac{x^3}{3} + C\)。此步骤与标准答案一致，得3分。

（2）利用初始条件确定常数（满分2分）

学生正确代入初始条件 \(y(2)=0\)，计算出 \(C = \frac{2}{3}\)，得到特解 \(y + \frac{y^3}{3} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2}{3}\)。此步骤与标准答案一致，得2分。

（3）极值点判断与极值计算（满分5分）

学生正确通过 \(y'=0\) 得到极值点 \(x=\pm 1\)，并正确分析了一阶导数的符号变化，得出 \(x=-1\) 为极小值点，\(x=1\) 为极大值点。但在计算极值时，对于 \(x=1\) 的情况，学生得出极大值为 \(\frac{4}{3}\)，而标准答案为 \(y(1)=1\)。学生没有正确解出 \(y(1)\) 的值，而是错误地将 \(x=1\) 代入方程右边直接得到 \(\frac{4}{3}\)，忽略了左边 \(y + \frac{y^3}{3}\) 的隐含关系。这是一个逻辑错误，扣3分。对于 \(x=-1\) 的情况，学生得出极小值为0，与标准答案一致，不扣分。此部分得2分。

题目总分：3+2+2=7分