评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

第(I)问证明正确。学生使用了积分中值定理，由 \(0 \leq g(x) \leq 1\) 推导出 \(0 \leq \int_{a}^{x} g(t) dt \leq x - a\)，逻辑清晰，与标准答案一致。得5分。

（2）得分及理由（满分5分）

第(II)问证明存在逻辑错误。学生试图使用积分中值定理和广义积分中值定理，但证明过程不严谨。关键错误在于：

• 学生将 \(\int_{a}^{a+\int_{a}^{b}g(t)dt} f(x) dx\) 直接写作 \(\int_{a}^{b} g(t) dt \cdot f(\xi)\)，这是错误的，因为积分中值定理要求被积函数连续，且区间长度应为 \(a+\int_a^b g(t)dt - a = \int_a^b g(t)dt\)，但学生错误地使用了区间 \([a, b]\) 的长度。
• 学生引入 \(c \in (a, b)\) 并比较 \(f(\xi)\) 和 \(f(c)\)，但 \(\xi\) 和 \(c\) 的关系 \(\xi \leq c\) 没有严格证明，且最终结论 \(\int_{a}^{b} g(t) dt \cdot f(\xi) \leq f(c) \int_{a}^{b} g(t) dt\) 不能直接推出原不等式，因为右边不是 \(\int_a^b f(x)g(x)dx\)。

证明思路与标准答案（构造函数求导）完全不同，且存在根本性逻辑错误，不能得分。得0分。

题目总分：5+0=5分