评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生作答中，第一次识别和第二次识别在关键步骤上基本一致，但存在一些差异。主要评分点如下：

• 学生正确根据偏导数条件得到 \(f(x,y) = (y+1)^2 + \varphi(x)\)，这一步正确。
• 在利用条件 \(f(y,y)\) 时，第一次识别写为 \(f(x,y) = (y+1)^2 - (2-y)\ln y\)，这显然是笔误（应为 \(f(y,y)\)），但第二次识别正确写为 \(f(y,y)\)，因此根据“误写不扣分”原则，不扣分。
• 学生正确得到 \(f(x,y) = (y+1)^2 - (2-x)\ln x\) 和曲线方程 \((y+1)^2 = (2-x)\ln x\)，正确。
• 学生使用旋转体体积公式时，第一次识别写为 \(V = 2\pi \int_{1}^{2} dx \int_{0}^{\sqrt{(2-x)\ln x}} t dt\)，这是错误的（多了一个2），但第二次识别正确写为 \(\pi \int_{1}^{2} dx \int_{0}^{\sqrt{(2-x)\ln x}} t dt\)，因此根据“两次识别中一次正确则不扣分”原则，不扣分。
• 积分计算部分，学生错误地将 \(\int (2-x)\ln x dx\) 转化为 \(\frac{1}{2} \int \frac{(2-x)^2}{x} dx\)，这是逻辑错误（错误使用了分部积分或变量替换），导致后续计算错误。扣分。
• 最终答案 \(\frac{\pi}{2}(4\ln 2 - \frac{5}{2})\) 与标准答案 \(\pi(2\ln 2 - \frac{5}{4})\) 不一致，证实计算错误。

扣分情况：逻辑错误（积分计算错误）扣3分。其他步骤正确。

得分：11 - 3 = 8分。

题目总分：8分