评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 -1/4。本题要求计算函数傅里叶级数在 x=0 处的收敛值。根据傅里叶级数的收敛定理，对于分段光滑的函数，其傅里叶级数在间断点处收敛于该点左极限和右极限的算术平均值。

首先需要计算函数在 x=0 处的左极限和右极限：

• 左极限：\(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\int_0^{x^2} \sin t^2 \, dt}{x \ln(\cos x)}\)
• 右极限：\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}} - e}{x}\)

傅里叶级数在 x=0 处的收敛值应为 \(\frac{f(0^-) + f(0^+)}{2}\)。

标准答案为 \(\frac{-4 + 3e}{12}\)，这是一个精确的表达式。学生给出的答案 -1/4 是一个数值近似，约为 -0.25。而标准答案 \(\frac{-4 + 3e}{12}\) 的数值近似约为 \(\frac{-4 + 3 \times 2.71828}{12} \approx \frac{4.15484}{12} \approx 0.34624\)。

学生的答案 -0.25 与正确的收敛值 0.34624 在数值上相差甚远，符号相反，且未给出正确的解析表达式。这表明学生在计算左极限或右极限时出现了根本性的逻辑错误，例如可能忽略了极限的求解过程或错误地应用了洛必达法则。

因此，该答案不正确。

得分：0分。

题目总分：0分