评分及理由

（1）区域划分（满分2分）

学生正确识别了分段函数，并根据曲线 \(x = \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}}\) 将区域 \(D\) 划分为 \(D_1\) 和 \(D_2\)，定义准确。得2分。

（2）积分表达式（满分2分）

学生正确写出了分段积分表达式 \(\iint_{D}f(x,y)dxdy=\iint_{D_1}\arctan^{2}y d\sigma+\iint_{D_2}\frac{x^{2}y}{\sqrt{2x + 1}}d\sigma\)。得2分。

（3）积分次序与积分限（满分8分）

学生将二重积分化为累次积分：
- 对于 \(D_1\) 部分 \(\int_{0}^{1}\arctan^{2}y dy\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{1 + y^2}}}dx\)，积分次序和积分限正确，得4分。
- 对于 \(D_2\) 部分 \(\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}\frac{x^{2}}{\sqrt{2x + 1}}dx\int_{\frac{1 - x^{2}}{x^{2}}}^{1}y dy\)，存在逻辑错误：
 a) 积分下限 \(\frac{1 - x^{2}}{x^{2}}\) 错误，正确应为从曲线 \(x = \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}}\) 解出的 \(y = \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}\)（当 \(x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}\) 时），但学生写成了 \(\frac{1 - x^{2}}{x^{2}}\)，该表达式为负值且在 \(x=1\) 时为0，与区域 \(D\) 中 \(y \geq 0\) 不符。
 b) 对 \(y\) 的积分上限为1正确，但下限错误导致整个积分计算逻辑错误。
根据错误严重程度，扣3分，得1分。
本部分总分：4 + 1 = 5分。

题目总分：2+2+5=9分