评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生作答中，首先根据积分中值定理或连续函数的性质，由 \(\int_a^b f(x)dx = 0\) 且 \(f(a)<0, f(b)<0\)，正确推断出存在 \(\varphi \in (a,b)\) 使得 \(f(\varphi)>0\)。然后利用零点定理，由 \(f(a)<0, f(\varphi)>0\) 得存在 \(\varphi_1 \in (a,\varphi)\) 使 \(f(\varphi_1)=0\)，由 \(f(\varphi)>0, f(b)<0\) 得存在 \(\varphi_2 \in (\varphi,b)\) 使 \(f(\varphi_2)=0\)，从而证明了存在两个不同的零点。论证逻辑清晰，关键步骤完整，与标准答案思路一致。因此，本部分得满分6分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生作答中，由(Ⅰ)的结果应用罗尔定理，得出存在 \(\eta \in (\varphi_1, \varphi_2)\) 使得 \(f'(\eta)=0\)。但随后错误地认为“只需证明 \(f(\eta)=0\) 即可”来验证 \(f'(\eta)+[f(\eta)]^k=0\)。实际上，由罗尔定理只能得到 \(f'(\eta)=0\)，但无法保证 \(f(\eta)=0\)（罗尔定理只保证导数存在零点，函数值在区间内未必为零）。因此，学生的论证存在根本性的逻辑错误，未能正确证明结论。标准答案通过构造辅助函数并应用罗尔定理是正确方法。本部分论证错误，得0分。

题目总分：6+0=6分