评分及理由

（1）补充曲面及方向（满分2分）

学生补充的曲面为 \(\Sigma_0: \begin{cases} 2x^2+2z^2=1 \\ y=0 \end{cases}\)，取左侧。标准答案为 \(\Sigma_1: y=0 (x^2+z^2 \leq \frac{1}{2})\) 取左侧。学生给出的曲面方程是曲线（柱面与平面的交线）而非曲面，这是概念错误。但根据上下文，学生意图是补充底面 \(y=0\) 且范围应为 \(x^2+z^2 \leq \frac{1}{2}\)，方向正确。由于识别可能将“≤”误写为“=”，且核心思路是补充底面，方向正确，扣1分。

得分：1分

（2）应用高斯公式（满分4分）

学生正确将曲面积分转化为 \(\Sigma + \Sigma_0\) 上的积分并应用高斯公式，但散度计算有误。被积函数为 \(P=xy^2+x, Q=y^3-z^2, R=zy^2-x^2\)，散度应为 \(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = (y^2+1) + (3y^2) + (y^2) = 5y^2+1\)。学生计算为 \(y^2+1+3y^2+y^2=5y^2+1\)（第二次识别结果），但第一次识别中误写为 \(y^2+1+3y^2+y^2\)（未合并），且最终写为 \(\frac{9\pi}{24}\)，实际计算错误。高斯公式应用正确，但散度表达式未简化且三重积分计算错误，扣2分。

得分：2分

（3）三重积分计算（满分3分）

学生未给出三重积分计算过程，直接写出结果 \(\frac{9\pi}{24}\)。正确结果应为 \(\iiint_{\Omega} (5y^2+1) dV\)，区域 \(\Omega\) 由 \(y=1-2x^2-2z^2\) 和 \(y=0\) 围成。使用先二后一法（或柱坐标），积分结果应为 \(\frac{11\pi}{24}\)。学生结果错误，且无过程，扣3分。

得分：0分

（4）底面积分计算（满分2分）

学生计算 \(I_2 = -\iint_{D_{xz}} -z^2 dzdx = \frac{\pi}{16}\)。在底面 \(y=0\)（左侧）上...