评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生正确判断了单特征值不等于0时的特征值分布：r1=r2=0, r3=4（2分）。正确找到了特征向量α1=(1,1,0)^T, α2=(-1,1,2)^T, α3=(1,-1,1)^T（2分）。正确计算出了A矩阵为(4/3)×[[1,-1,1],[-1,1,-1],[1,-1,1]]（1分）。正确求出了Ax=0的通解基础解系为(-1,0,1)^T和(1,1,0)^T（1分）。

扣分情况：无扣分。

得分：6分

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生正确判断了单特征值等于0时的特征值分布：r1=r2=2, r3=0（1分）。正确得出A+2E的特征值为4,4,2（1分）。正确进行了特征向量的单位化处理（1分）。正确构造了正交矩阵Q（1分）。正确写出了B的表达式为Q×diag(2,2,√2)×Q^T（2分）。

扣分情况：虽然学生写出了B的表达式，但没有像标准答案那样进行具体的矩阵乘法计算得到B的显式形式。考虑到题目要求"求正定矩阵B"，应该给出具体的矩阵形式，因此扣1分。

得分：5分

题目总分：6+5=11分