评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为 \(4\pi/3\)。

该题要求计算曲线 \(y=\int_{-\sqrt{3}}^{x} \sqrt{3-t^{2}} ~d t\) 的弧长。根据弧长公式，对于由积分定义的函数，弧长 \(L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (y'(x))^2} dx\)。首先需要求出导数 \(y'(x) = \sqrt{3-x^2}\)，然后代入弧长公式。被积函数变为 \(\sqrt{1 + (3-x^2)} = \sqrt{4-x^2}\)。题目中积分的下限是 \(-\sqrt{3}\)，而上限 \(x\) 需要根据被积函数 \(\sqrt{4-x^2}\) 的定义域来确定。\(\sqrt{4-x^2}\) 在区间 \([-2, 2]\) 上有定义，但原函数 \(y\) 的定义域由内层积分 \(\sqrt{3-t^2}\) 决定，即 \(t \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]\)，所以 \(x\) 的取值范围是 \([-\sqrt{3}, \sqrt{3}]\)。因此，弧长 \(L = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \sqrt{4-x^2} dx\)。计算这个定积分，其几何意义是半径为2的圆在 \(x\) 从 \(-\sqrt{3}\) 到 \(\sqrt{3}\) 之间的弓形面积的两倍（或者利用圆的参数方程计算），最终结果为 \(\sqrt{3} + \frac{4\pi}{3}\)。

学生答案 \(4\pi/3\) 与标准答案 \(\sqrt{3} + \frac{4\pi}{3}\) 相比，缺少了 \(\sqrt{3}\) 项。这表明学生在计算弧长积分时，可能错误地认为积分区间是使得被积函数 \(\sqrt{4-x^2}\) 非负的整个区间（例如 \([-2,2]\)），或者在进行积分计算时出现了错误，忽略了积分区间不对称带来的线性项部分。这是一个严重的计算逻辑错误，导致答案不完整。

因此，该答案不能得分。

得分：0分。

题目总分：0分