评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案：y(x) = x ln(c²/x)。标准答案：y(x) = x(2 - ln x)。

学生答案与标准答案形式不同，但通过恒等变换可以验证：x ln(c²/x) = x (ln c² - ln x) = x (2 ln c - ln x)。若令 C = 2 ln c，则与标准答案通解形式 x(C - ln x) 一致。题目给定曲线经过点 (c², 0)，代入学生答案：y(c²) = c² ln(c²/c²) = c² ln 1 = 0，满足条件。因此学生答案正确。

但学生答案中参数 c 未消去，而标准答案中 c 被消去（题目中 c 是已知点横坐标的平方根，标准答案取 c=e 的特殊情况？题目原文为“经过点 (c², 0)”，但标准答案中却用 y(e²)=0，这里存在不一致。按题目描述，应代入点 (c², 0) 得到 y(c²)=0，即 c²(C - ln c²)=0，因 c²>0，故 C=2 ln c，所以 y(x)=x(2 ln c - ln x)=x ln(c²/x)，与学生答案一致。标准答案中取 c=e 可能是笔误或特殊情形，但题目未指定 c 值，因此学生答案保留参数 c 更一般化，是正确的。

综上，学生答案正确，得满分5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生答案：点 (c² e^{-1/2}, c²/2 e^{-1/2})，最小面积 c⁴/e。

标准答案：点 (e^{3/2}, e^{3/2}/2)，最小面积 e³。

学生答案与标准答案形式相似，但含参数 c。需要验证学生答案是否由自己的 y(x) 推导得出。

设 y(x) = x ln(c²/x)，则 y' = ln(c²/x) - 1。切线在 y 轴截距：y - x y' = x ln(c²/x) - x[ln(c²/x) - 1] = x。与 x 轴交点：令 Y=0，得 X = x / (1 - ln(c²/x))？需重新计算：切线方程 Y - y = y'(X - x)，令 Y=0 得 -y = y'(X - x)，X = x - y/y'。代入 y 和 y'：X = x - [x ln(c²/x)] / [ln(c²/x) - 1] = x [1 - ln(c²/x)/(ln(c²/x) - 1)] = x [ (ln(c²/x) -...