评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 \( a = -\frac{3}{2} \)，而标准答案是 \( a = 2 \)。

首先，计算积分： \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{a}{x(2x + a)} \, dx \] 使用部分分式分解： \[ \frac{a}{x(2x + a)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{2x + a} \] 解得 \( A = 1 \)，\( B = -1 \)，因此： \[ \frac{a}{x(2x + a)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x + a} \] 积分： \[ \int_{1}^{+\infty} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x + a} \right) dx = \left[ \ln|x| - \frac{1}{2} \ln|2x + a| \right]_{1}^{+\infty} \] 计算极限： \[ \lim_{x \to +\infty} \left( \ln x - \frac{1}{2} \ln(2x + a) \right) = \lim_{x \to +\infty} \ln \frac{x}{\sqrt{2x + a}} = \ln \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{2} \ln 2 \] 在 \( x = 1 \) 处： \[ \ln 1 - \frac{1}{2} \ln |2 + a| = -\frac{1}{2} \ln |2 + a| \] 因此积分值为： \[ -\frac{1}{2} \ln 2 - \left( -\frac{1}{2} \ln |2 + a| \right) = \frac{1}{2} \ln \frac{|2 + a|}{2} \] 令其等于 \( \ln 2 \)： \[ \frac{1}{2} \ln \frac{|2 + a|}{2} = \ln 2 \implies \ln \frac{|2 + a|}{2} = 2 \ln 2 \implies \frac{|2 + a|}{2} = 4 \implies |2 + a| = ...