评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是矩阵形式：

1 0 2n
0 1 0
0 0 1

这与标准答案 \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2n \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) 完全一致。

题目要求计算从基 \(\xi_1, \xi_2, \xi_3\) 到基 \(\eta_1, \eta_2, \eta_3\) 的过渡矩阵 \(P\) 的 \(n\) 次幂 \(P^n\)。正确的解题思路是：首先求出过渡矩阵 \(P\)，然后计算其 \(n\) 次幂。通过计算可知，矩阵 \(P\) 是一个初等矩阵（第三列是第一列加上第二列的2倍），其 \(n\) 次幂具有特定的形式，即只有右上角元素是 \(2n\)，其余与单位矩阵相同。学生的答案正确反映了这一计算结果。

因此，该答案完全正确，得5分。

题目总分：5分