评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生正确建立了旋转体体积公式：\(V(t) = \pi \int_{t}^{2t} (\sqrt{x}e^{-x})^2 dx = \pi \int_{t}^{2t} x e^{-2x} dx\)（虽然学生写作\(2\pi \iint_D y d\sigma\)的表述不严谨，但后续计算实际使用了正确的旋转体体积公式，故不扣分）。

积分计算过程正确：通过分部积分得到\(V(t) = (\frac{\pi}{2}t + \frac{\pi}{4})e^{-2t} - (\pi t + \frac{\pi}{4})e^{-4t}\)。

求导过程有误：第一次识别中导数写为\(V'(t) = 4\pi t e^{-4t} - 2\pi t e^{-2t}\)，第二次识别中修正为\(V'(t) = 4\pi t e^{-4t} - \pi t e^{-2t}\)（标准答案为\(\pi t e^{-2t}(4e^{-2t} - 1)\)）。第二次识别结果正确，按正确计算处理。

临界点求解正确：由\(V'(t)=0\)解得\(t = \ln 2\)。

极值判定正确：通过二阶导数判定为极大值点。

最终结果错误：计算\(V(\ln 2) = \frac{\pi}{32}\)，但标准答案为\(\left( \frac{\ln 2}{16} + \frac{3}{64} \right)\pi\)。代入计算错误属于严重计算失误。

扣分：最终结果错误扣3分（计算错误通常扣2-4分，此处取中间值）。

得分：12 - 3 = 9分

题目总分：9分