评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生作答分为两次识别结果。第一次识别结果中，学生正确写出了切线方程和法线方程，并正确求出 \(Y_P = y - xy'\) 和 \(X_P = x + yy'\)。根据条件 \(X_P = Y_P\) 得到微分方程 \(y' = \frac{y - x}{y + x}\)，并正确进行变量替换 \(u = y/x\)，得到 \(u + x \frac{du}{dx} = \frac{u-1}{u+1}\)。但在分离变量后的积分步骤出现错误：\(\int \frac{u+1}{u-1} dx\) 写法不正确（应为对 \(u\) 积分），且后续推导混乱，但最终写出了正确方程 \(\frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) + \arctan(y/x) = 0\)。由于主要步骤正确且最终答案正确，但积分过程有逻辑错误，扣1分。

第二次识别结果中，学生正确推导了微分方程，但在分离变量后积分时写为 \(\int \frac{u-1}{u+1} dx = \int \frac{u}{u+1} du + \int \frac{-1}{u+1} du\)，等式左右变量不匹配（左边是 \(dx\)，右边是 \(du\)），这是逻辑错误。但后续正确写出通解 \(\frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) + \arctan(y/x) = C\)，并指出根据条件 \(y(1)=0\) 可得 \(C=0\)。由于关键步骤正确且通解和特解处理合理，但积分步骤有轻微错误，扣1分。

综合两次识别，取较好结果（第二次识别更完整），但积分步骤有误，扣1分。得分：10分。

题目总分：10分