评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是“2”。

理由：题目要求计算矩阵 \(E - XX^{T}\) 的秩，其中 \(X\) 是三维单位向量。根据线性代数知识，\(XX^{T}\) 是一个秩为1的矩阵（因为 \(X\) 是非零向量）。矩阵 \(E - XX^{T}\) 可以看作是在单位矩阵 \(E\) 上减去一个秩为1的矩阵。根据矩阵秩的性质（例如，对于单位矩阵减去一个秩为k的矩阵，其秩至少为 n-k），这里 n=3, k=1，所以 \(E - XX^{T}\) 的秩至少为 3-1=2。同时，由于 \(X\) 是单位向量，\(XX^{T}\) 的特征值包含一个1（对应特征向量 \(X\)) 和两个0，所以 \(E - XX^{T}\) 的特征值包含 1-1=0（对应特征向量 \(X\)) 和两个 1-0=1，因此其秩为2。学生答案“2”与标准答案一致，且作答过程（虽然未展示）的结果正确。

得分：4分。

题目总分：4分