评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确计算了导数、切线方程和与x轴交点，但在建立距离恒为1的条件时出现逻辑错误：标准答案中距离公式应为切点与交点的距离，但学生错误地使用了交点x坐标与切点x坐标的差（即只考虑了水平距离）加上切点y坐标来构造距离，这导致推导出的导数表达式不正确。具体地，学生写的是 \( l = \sqrt{(\frac{\cos t_0 f'(t_0)}{\sin t_0})^2 + \cos^2 t_0} = 1 \)，而正确应为 \( \sqrt{[f'(t)\cot t]^2 + \cos^2 t} = 1 \)（即交点到切点的向量模长为1）。学生由此错误推导出 \( f'(t_0) = \frac{\sin^2 t_0}{\cos t_0} \)，但正确结果应为 \( f'(t) = \tan t \)。尽管后续积分和利用f(0)=0求常数步骤正确，但由于初始条件推导错误，最终f(t)表达式错误（学生结果为 \(\ln(\frac{1+\sin t}{\cos t}) - \sin t\)，标准答案为 \(\ln(\sec t + \tan t) - \sin t\)，但两者等价，不扣分）。但核心逻辑错误在距离条件建立，扣3分。得分：5 - 3 = 2分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生计算面积时，正确使用了参数曲线面积公式 \( S = \int y dx = \int \cos t \cdot f'(t) dt \)，但代入的是错误的 \( f'(t) = \frac{\sin^2 t}{\cos t} \)（来自第(1)部分错误）。然而，积分计算过程正确，且最终结果 \( \frac{\pi}{4} \) 与标准答案一致（巧合，因为错误导数在积分后恰好得到正确面积）。但面积计算依赖于第(1)部分的错误导数，属于逻辑链错误，扣2分。得分：5 - 2 = 3分。

题目总分：2+3=5分