评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答中未明确求解第(1)问，仅在第(2)问中通过计算|A^TA|=0得到a=-1，但该方法是错误的（因为A^TA的秩与Ax=b解的情况无直接关系）。标准答案中通过分析Ax=b有无穷多解的条件（|A|=0且r(A)=r(A|b)）正确求得a=2。学生未正确解答第(1)问，且给出的a=-1是错误的。根据评分规则，逻辑错误需扣分。但考虑到学生可能误将第(2)问的求解过程当作第(1)问，且识别结果中未明确区分小题，酌情给予部分步骤分（如计算行列式）。但核心逻辑错误，扣分较多。得分：1分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生第(2)问的求解思路（求A^TA的特征值和特征向量，单位化后得正交变换矩阵）正确，但计算过程存在严重错误：
1. 学生给出的A^TA矩阵（基于其错误a=-1）与标准答案（a=2时）不一致，导致后续特征值计算全部错误。
2. 特征值计算错误（学生得2,6,0；标准答案为0,4,4）。
3. 特征向量和单位化结果因基于错误矩阵，也全部错误。
4. 最终标准形错误（学生得2y₁²+6y₂²；标准答案为4y₂²+4y₃²）。
尽管思路正确，但核心计算因依赖第(1)问错误结果而全盘错误，属于逻辑错误。根据评分规则，思路正确不扣分，但逻辑错误需扣分。此处逻辑错误导致后续步骤无效，故扣分严重。但保留思路分。得分：2分。

题目总分：1+2=3分